04 Groß

Der Durchgang eines vierdimensionalen Objektes durch eine dreidimensionale Welt kann mathematisch berechnet werden

Im diesem Abschnitt wollen wir zeigen, wie es aussähe, wenn Objekte einer vierdimensionalen Welt durch unsere dreidimensionale Welt hindurchgehen. Das, was im vorangehenden Abschnitt die zweidimensionale Welt der Wasseroberfläche war, ist nun unsere gewöhnliche dreidimensionale Welt. Die dreidimensionale Kugel, die ins Wasser geworfen wurde, ist nun eine vierdimensionale Kugel, die unsere dreidimensionale Welt durchdringt. Um das ganze anschaulich zu machen, habe ich diesen Durchgang in ein Zimmer verlegt. Man wird sehen, dass weder Kugel noch Würfel die Wände des Zimmers berühren. Der Vorgang spielt sich komplett im Zimmer ab. Und man sieht vor allen Dingen auch, dass die Kugel spurlos verschwindet, ihre Annäherung und ihre Entfernung von der dreidimensionalen Welt ist aus dieser nicht zu beobachten. Alles ist mit den entsprechenden Formeln der analytischen Geometrie berechnet, Formeln, mit denen ich Sie hier aber nicht langweilen möchte.

Bild 40 (Video): Wie erscheint eine vierdimensionale Kugel in einem dreidimensionalen Zimmer

Wenn eine vierdimensionale Kugel unsere dreidimensionale Welt durchquert, so ist das völlig analog zu dem entsprechenden Ereignis, wenn ein kugelrunder Stein ins Wasser fällt. Zunächst berührt die vierdimensionale Kugel den dreidimensionalen Raum in einem Punkt. Dann erscheint sie als kleine und wachsende Kugel. Ihr Mittelpunkt verharrt dabei an einem Ort. Der dreidimensionale Beobachter hat also das Gefühl, die Kugel steht still und wird aufgeblasen. Das Wachstum der Kugel verlangsamt sich, bis sie den gleichen Radius hat wie die vierdimensionale Kugel. Die dreidimensionale Welt schneidet in diesem Moment die vierdimensionale Kugel in einem Analogon zum Großkreis einer dreidimensionalen Kugel. Danach bildet sich die Kugel wieder zurück, wird zum Punkt und verschwindet. Nichts verbleibt von ihr in der dreidimensionalen Welt, nichts ist danach von ihr zu sehen, kein Nebel, rein gar nichts. Und sie kreuzt dabei keine Wand, nicht die Decke oder den Boden. Sie erscheint und verschwindet im geschlossenen Raum, sie bewegt sich nur kurz in dieser dreidimensionalen Welt und verlässt sie danach wieder vollständig.

Bild 41 (Video): Was ändert sich, wenn die Kugel schräg durch die dreidimensionale Welt hindurchgeht

Wenn eine vierdimensionale Kugel unsere dreidimensionale Welt nicht senkrecht durchquert, so ist das völlig analog zu dem senkrechten Verlauf, aber, wie es auch mit Fall der Wasseroberfläche war, der Mittelpunkt der Kugel wandert jetzt durch den dreidimensionalen Raum bis die Kugel verschwindet.

Im folgenden Bild ist der Verlauf der wandernden Kugel zu sehen, weil hier alle Positionen bis zur erreichten Position gleichzeitig gezeigt werden.

Bild 42 (Video): Den Platz, den die vierdimensionale Kugel bei der Durchdringung des dreidimensionalen Raumes einnimmt

Man sieht auf diesem Bild, wie sich die vierdimensionale Kugel nur in dem geschlossenen Raum bewegt, exakt im Inneren des grauen Ellipsoids.

Bild 43 (Video): Aufbau eines vierdimensionalen Würfels aus einem (nulldimensionalen) Punkt

Nun ist eine vierdimensionale Kugel sehr einfach zu verfolgen, weil ihr Abbild im dreidimensionalen Raum immer eine Kugel ist, manchmal größer und manchmal kleiner. Schwieriger wird es mit komplizierteren Körpern. Schon ein vierdimensionaler Würfel kann im dreidimensionalen Raum recht komplizierte Schnittbilder erzeugen. Um dies zu zeigen, müssen wir erst einmal einen vierdimensionalen Würfel aufbauen. Er wird aus einem Punkt entwickelt, der sozusagen ein nulldimensionaler Würfel ist. Diesen ziehen wir ein eine Richtung und erhalten eine Strecke, einen eindimensionalen Würfel. Diese Strecke ziehen wir in eine dazu senkrechte Richtung und erhalten ein Quadrat, einen zweidimensionalen Würfel. Dieses Quadrat ziehen wir wieder in eine dazu senkrechte Richtung, es gibt jetzt genau eine Richtung, die uns im dreidimensionalen Raum verbleibt, und wir erhalten einen dreidimensionalen Würfel, also das, was man gemeinhin unter einem Würfel versteht. Jetzt gibt es im dreidimensionalen Raum keine Richtung mehr, die auf allen diesen drei Richtungen senkrecht steht. Wären wir im vierdimensionalen Raum, würde es noch genau eine solche Richtung geben, wären wir in einem fünf- oder noch höherdimensionalen Raum, dann würde es viele solche Richtungen geben. Wir könnten dann auf unserer Zeichenfläche ein Bild von diesem vierdimensionalen Würfel zeigen. Dieses zweidimensionale Abbild der Erzeugung eines vierdimensionalen Würfels zeigt Ihnen das Video von Bild 43.

Wenn Sie den vierdimensionalen Würfel anschauen, dann sehen Sie darin noch den dreidimensionalen Würfel, aus dem er entstanden ist. Wenn Sie der Zugrichtung folgen, dann sehen Sie auch den dreidimensionalen Würfel, in den er gezogen worden ist. Wenn Sie irgend eine Seitenfläche des ursprünglichen dreidimensionalen Würfels nehmen und die Zugrichtung als weitere Kante nehmen, dann können Sie weitere dreidimensionale Würfel entdecken, die die dreidimensionalen Begrenzungswürfel des vierdimensionalen Würfels bilden. Insgesamt können Sie acht dreidimensionale Würfel in unserem vierdimensionalen Würfel. So wie der dreidimensionale Würfel durch 6 Quadrate begrenzt wird - unser dreidimensional geprägtes Gehirn versteht es sofort - wird der vierdimensionale Würfel durch 8 dreidimensionale Würfel begrenzt. Damit hat unsere Vorstellungskraft große Schwierigkeiten, weil uns die Erfahrung im vierdimensionalen Raum völlig fehlt. Die Mathematik rechnet hier aber kühl weiter und liefert uns die Ergebnisse und sogar Bilder, wie Sie in Bild 43 sehen.

Bild 44 (Video): Ein vierdimensionalen Würfels durchdringt die dreidimensionalen Welt (Senkrechte Durchdringung)

Im Bild 44 wird der komplexe Vorgang bildlich dargestellt, wenn ein vierdimensionaler Würfel einen dreidimensionalen Raum durchdringt. Um das Bild verständlich zu machen ist der vierdimensionale Würfel, so wie er auf den dreidimensionalen Raum zukommt, dargestellt. Dies ist nur ein Hilfsmittel, damit Sie die Figuren, die im dreidimensionalen Raum entstehen, überhaupt verstehen. Tatsächlich könnte man die graue Figur bei diesem gedachten Duchgang zu keinem Zeitpunkt sehen.

Weiter muss man sich klar machen, dass die dreidimensionalen Elemente, die in der dreidimensionalen Welt sichtbar werden, wirklich nur dreidimensional sind, denn mehr passt in die dreidimensionale Welt nicht hinein. Aus Sicht der vierdimensionalen Welt sind sie also platt, haben keinen Körper, so wie auch der Kreis, der entsteht, wenn die Kugel die Wasseroberfläche durchdringt, platt ist, keine (dreidimensional) räumliche Ausdehnung besitzt. Wenn ein Kreis an der Wasseroberfläche sichtbar wird, so taucht er im nächsten Moment in das Wasser ein. Der Kreis, der danach sichtbar wird, besteht aus völlig anderen Punkten der Kugel. So ist es auch beim Durchgang eines vierdimensionalen Objektes durch den dreidimensionalen Raum. Das sichtbar werdende Objekt besteht zu jedem Zeitpunkt aus völlig anderen Punkten (Teilen) des vierdimensionalen Objektes. Der Eckpunkt, der zu Begin auftaucht, verschwindet sofort wieder, ist also danach im dreidimensionalen Raum nicht mehr sichtbar.

Dieses Phänomen gilt generell, solange das höherdimensionale Objekt das niederdimensionale Objekt wirklich durchdringt, also eine Bewegungsrichtung besitzt, die nicht parallel zu dem niederdimensionalen Objekt ist. Fliegt das Objekt parallel, also immer im gleichen Abstand und ohne relative Drehung, so ist der Schnitt immer derselbe Ausschnit aus dem höherdimensionalen Objekt und würde sich in der niederdimensionalen Welt entsprechend bewegen. Am Beispiel der Kugel und der Wasseroberfläche kann man sich das leicht klarmachen, wenn man die Kugel etwa zur Hälfte eintaucht und dann parallel zur Wasseroberfläche verschiebt und Phänomene wie Bugwelle usw. einmal außer Acht lässt.

Nach diesen Vorbemerkungen nun zum Video:

Nach etwa einer Sekunde Videozeit sehen Sie, dass die erste Ecke des vierdimensionalen Würfels erscheint und dann der sichtbare Teil immer größer wird. Tatsächlich sehen Sie nun nur die vier Seiten eines Tetraeders, die bunt dargestellt sind. Er befindet sich „unterhalb” der Ecke, die zuerst sichtbar wurde. Das sichbare Tetraeder wandert zunehmend in Richtung des Würfelinneren des vierdimensionalen Würfels. Nach etwa 4 Sekunden wird eine andere Ecke (im Bild weiter rechts) sichtbar und verschwindet sofort wieder. Stattdessen werden 3 Punkte sichtbar. Man würde 4 Schnittpunkte erwarten, der vierte ist aber schon durch unseren Raum hindurch, weil seine beiden Eckpunkte die Ecken sind, die schon durch unseren Raum hindurchgewandert sind, also komplett „auf der anderen Seite” unseres Raumes liegen. Unser Tetraeder verwandelt sich jetzt in ein Gebilde aus 6 Punkten, etwa wie eine Dachfläche wirkt. Nach etwa 7 Sekunden wird eine dritte Ecke sichtbar, die sich zu drei Punkten auffächert. Unser Tetraeder ist nun auch an der zweiten Ecke abgeflacht, das Polyeder, das wir sehen, ist mit 8 Punkten schon recht komplex. Nach 12 Sekunden erscheint eine weitere Ecke des vierdimensionalen Würfels und liefert drei Punkte, eine weitere Abflachung unseres ursprünglichen Tetraeders. Fast zeitgleich erscheint eine weitere Ecke mit dem entsprechenden Effekt. Damit sind bereits 5 der 16 Ecken des vierdimensionalen Würfels durch unseren dreidimensionalen Raum gewandert. Indem Sie den Film Bild für Bild durchgehen, können Sie den Durchgang aller Ecken beobachten. Sie werden feststellen, dass dadurch unser Polyeder auch wieder an Punkten verliert, nämlich immer dann, wenn mit einer Ecke auch eine ganze Kante oder Fläche oder gar ein dreidimensionaler Teilwürfel des vierdimensionalen Würfels auf „die andere Seite” unseres Raumes verschwindet.

Dieses etwas komplexe Beispiel soll zeigen, wie sich die Schnittfiguren bei komplexeren Gebilden beim Durchgang eines vierdimensionalen Körpers durch eine dreidimensionale Welt komplett verändern können. Die Kugel war da ein sehr simples Beispiel, dass zu Fehlschlüssen hätte führen können.

Andererseits sollte Ihnen der Hinweis auf eine Parallelverschiebung zeigen, dass eine die Schnittfläche sich nicht zwangsläufig verändern muss. Es ist sowohl eine Formänderung als auch eine konstante Form denkbar.

Groß ist unser Gott

Vortrag über den Gott, der in einem Licht wohnt, da niemand wohnen kann, das unseren Erfahrungshorizont weit übersteigt

(4) Wie schaut es aus, wenn eine vierdimensionale Kugel oder ein vierdimensionaler Würfel in unseren dreidimensionalen Raum eindringt

Zusammenfassung

Inhaltsverzeichnis

Der Durchgang eines vierdimensionalen Objektes durch eine dreidimensionale Welt kann mathematisch berechnet werden

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